Senin, 07 Juni 2010

MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS

Definisi :
Sebuah matriks aadalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan bilangan. Bilangan –bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.

Ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris dan kolom yang terdapat dalam matriks tersebut.

Contoh :
adalah matriks berukuran 3 x 2
adalah matriks berukuran 1 x 4
adalah maatriks berukuran 3 x 3
adalah matriks berukuran 2 x 1
adalah matriks berukuran 1 x 1(biasa ditulis 4 saja)

Simbul dari matriks dengan huruf besar :
A = B =

Jika A adalah suatu matriks maka aij adalah untuk menyatakan entri yang terdapat didalam baris ke-i dan kolom ke-j dari A.

Bentuk umum suatu matriks
A = atau
B = atau
Matriks dengan n baris dan n kolom dinamakan matriks kuadrat berorde n ( square matriks of order n).
B =
Entri b11, b22, b33, . . ., bnn adlah diagonal utama dari B

Dua matriks dikatakan sama bila mempunyai ukuran yang sama dan entri – entri yang bersesuaian sama.

Definisi:
Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks –matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan.

A = B =

A + B = =

Definisi:
Jika A adalah suatu matriks dan c adalah suatu skalar maka hasil kali (product) cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari A oleh c.

Contoh.
Jika diketahui matriks sebagai berikut :
A = B =
Maka 2A = dan -B = (-1)B =

2A – B = 2A +(-1)B =

Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sbb : Untuk mencari entri dalam baris ke-i dan kolom ke –j dari matrks B. Kalikanlah entri –entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.

Contoh.
Diketahui matriks-matriks
A = B =


A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x 4, maka hasil kali AB adalah matriks 2 x 4.

e11 = 1.4 + 2.0 + 4.2 = 12
e12 = 1.1 + 2.-1 + 4.7 = 27
e13 = 1.4 + 2.3 + 4.4 = 26
e14 = 1.3 + 2.1 + 4.2 = 13

e21 = 2.4 + 6.0 + 0.2 = 8
e22 = 2.1 + 6.-1 + 0.7 = -4
e23 = 2.4 + 6.3 + 0.4 = 26
e24 = 2.3 + 6.1 + 0.2 = 12

AB =

Dua buah matriks misalkan A dan B akan bisa dikalikan jika banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B.

TRANSPOSE MATRIKS
Definisi:
Jika A adalah sembarang matriks berukuran m x n, maka transpose A dinyatakan oleh At dan didefinisikan dengan matriks n x m yang baris ke-i dari matriks A menjadi kolom ke-i dari matriks At.

Contoh.
A = maka At =
B = Bt =

Teorema 1.
Dengan menganggap bahwa ukuran ukuran matriks adalah sedemikian sehingga operasi operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan, maka aturan-aturan dalam hitung matriks berikut adalah sahih (benar).

a. A + B = B + A
b. A +(B+C) = (A+B)+C
c. A(BC) = (AB)C
d. A(B+C) = AB+AC
e. A(B - C) = AB – AC
f. (B+C)A = BA +CA
g. (B-C)A = BA – CA
h. a(B+C) = aB + aC
i. a(B-C) = aB – aC
j. (a+b)C = aC + bC
k. (a-b)C = aC – bC
l. (ab)C = a(bC)
m. a(BC) = (aB)C = B(aC)


Matriks nol ( zero matriks )dinyatakan dengan 0 atau 0mxn untuk matriks nol mxn.
Contoh.
O2 x3 =


Jika A sebuah matriks maka A + 0 = 0 + A = A

Jika ab = ac dan a 0, maka b = c ( hukum pemaduan )
Jika ab = 0 maka a = 0 atau b =0 atau a = 0 dan b= 0

Tidak berlaku untuk matriks.

A = B = C = D =

AB = AC =
AD =
Contoh 2.

Dengan menganggap bahwa ukuran – ukuran matriks adalah sedemikian rupa sehingga operasi – operasi yang ditunjukkan dapat dilakukan maka aturan – aturan ilmu hitung matriks yang berikut akan sahih ( benar ).
a) A + O = O + A = A
b) A – A = O
c) O – A = -A
d) AO = O, OA = O

Matriks kuadrat dengan bilangan 1 terletak pada diagonal utama, sedangkan bilangan 0 terletak diluar diagonal utama disebut matriks satuan ( matriks identitas ) dan dinyatakan dengan I.

= I2, = I3
Jika A matriks m x n maka
A In = A dan ImA = A

Contoh:
Tunjukanlah matriks
A =
Maka I2A = =
AI3= =

Tidak ada komentar:

Posting Komentar